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胡燕双:爱上统计学----生活中的大数定律

  • 责任编辑:nannan.gu
  • 来源:天道教育
  • 时间:2015-04-03 10:00:15

  如果不是为了AP学分,你会学统计学吗?恐怕大部分的同学的答案是No.

  但事实是统计学作为一门社会科学和高等数学联姻的学科,其源自社会生产和生活,在学习中建议同学们回到生活中,让你分分钟爱上统计学。今天跟大家分享的是描述统计里非常重要的一个定律---大数定律。

本文为天道培训胡燕双老师原创,转载请注明出处和作者,违者必究!

  大数定律,通俗一点来说就是,单次考察随机发生的事件,其发生的频率虽显示出不确定性,例如某个孕妇生男生女的概率是不一定的。但是当观察样本的量足够大时,这种随机事件发生的概率就会表现出一定的稳定性。也就是如果把全国所有的孕妇“捆绑”在一起观察的时候,男孩和女孩的概率就会呈现出一定的稳定性即1:1的概率,当然这中间需要排除计划生育这一基本国策的影响。

  大数定律的关键在于,当样本的数目足够大时,那些貌似随机的不可预测的事件瞬间表现出了一种恒定性,虽然这种恒定性表现为一种诡异性,诡异的恒定性。

  常用的大数定理:

  (1)切贝雪夫大数定理:设1是一列两两相互独立的随机变量,服从同一分布,且存在有限的数学期望a和方差σ2,则对任意小的正数ε,有:2

  该定律的含义是:当n很大,服从同一分布的随机变量的算术平均数将依概率接近于这些随机变量的数学期望。

  (2)贝努里大数定律:设μn是n次独立试验中事件A发生的次数,且事件A在每次试验中发生的概率为P,则对任意正数ε,有:

3

  该定律是切贝雪夫大数定律的特例,其含义是:当n足够大时,事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率,即频率的稳定性。

  现在我们以向上抛硬币结合上述的切贝雪夫定理来帮助大家理解。我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,例如当上抛硬币的次数是50的时候,我们也许会期望得到这样的一个结果:

  28次的3和22次的5

  但结果并非如我们所愿,你可能抛出的人头和字的比例可能是:22:28,也可能是20:30。

  但当我们上抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万几百万次以后,我们就会发现,硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。

  用上述的切贝雪夫大数定理来解释的话,就是假设每次上抛硬币的出现人头的概率为1,则所有出现人头的概率,服从统一分布,a和方差σ2,则对任意小的正数ε,6

  即硬币出现人头的概率会无限接近其发生的概率50%。这里涉及初级的微积分知识,大家只要稍微复习一下微积分就可以很快地理解这个公式。如果还有不明白的,给大家推荐浙大版的数理统计与概率论,帮助大家更好地准备AP统计学。

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